Санкт-Петербургский семинар
по теории операторов и теории функций

(ПОМИ, 311, понедельник, 17-30)

• 17.05.10 Н.А.Широков О связи скорости убывания коэффициентов степенного ряда и скорости убывания его суммы вдоль радиуса (по работе А.М.Чирикова)
  
• 26.04.10 А.Д.Баранов Полнота системы, биортогональной к системе воспроизводящих ядер.
  Пусть в гильбертовом пространстве аналитических функций дана полная и минимальная система воспроизводящих ядер. Будет ли биортогональная к ней система полна? Хорошо известно, что семейства экспонент на отрезке (т.е. воспроизводящие ядра пространства Пэли-Винера) таким свойством обладают. Н.К. Никольский поставил соответствующий вопрос для модельных подпространств класса Харди. Недавно Ю. Белов получил отрицательный ответ на этот вопрос. В докладе мы обсудим контрпримеры к вопросу о полноте, а также выделим класс пространств, для которых полнота биортогональной системы всегда имеет место.
• 19.04.10 Д.Руцкий Слабая BMO-регулярность совпадает с обычной.
  Пара (X, Y) квазинормированных решеток измеримых функций на измеримом пространстве T x Ω, m x μ называется BMO-регулярной, если для любых ненулевых функций f ∈ X, g ∈ Y существуют мажоранты u ≥ |f|, v ≥ |g|, такие, что |​|u|​|_X ≤ m |​|f |​|_X, |​|v |​|_Y ≤ m |​|g |​|_Y и |​| log (u (⋅, a) /v (⋅, a)) |​|_BMO ≤ C при почти всех a ∈ Ω. Пара (X, Y) называется слабо BMO-регулярной, если BMO-регулярна пара (X L₁, Y L₁). Эти свойства достаточны и, по крайней мере в некоторых случаях, необходимы для "правильной" интерполяции пары (X_A, Y_A) соответствующих аналитических подпространств. Легко проверить, что свойство слабой BMO-регулярности следует из свойства BMO-регулярности, самодвойственно и устойчиво относительно деления на решетку. С помощью теоремы о неподвижной точке мы покажем, что для пар решеток, обладающих свойством Фату, эти свойства совпадают.
• 12.04.10 К.Ю.Федоровский (Москва) C^m-аппроксимация полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений на плоских компактах.
  Я планирую рассказать о C^m-приближаемости функций полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений на плоских компактах. В частности, предполагается обсудить случай C^n-1-приближаемости полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений порядка n, в котором соответствующий критерий приближаемости аналогичен критерию Мергеляна равномерной приближаемости функций полиномами комплексного переменного. Кроме того, если позволит время, я планирую рассказать о новых результатах, связанных с равномерной приближаемостью функций полианалитическими многочленами. Эти результаты относятся к случаю, когда компакт, на котором рассматривается аппроксимация, не является компактом Каратеодори и когда возникающие условия приближаемости зависят от порядка полианалитичности.
• 05.04.10 А.А. Седаев (Воронеж) Коммутативные задачи, возникающие из «некоммутативной геометрии А. Конна»
  1. Сингулярные симметричные функционалы (ССФ), как следы Диксмье на симметричных пространствах измеримых функций.
  2. Симметричные пространства, допускающие существование ССФ.
  3. Обобщенные пределы, порождающие ССФ.
  4. Понятие S-измеримых по А. Конну элементов и проблема их описания.
  5. Стабильные и S-измеримые элементы.
  6. Максимальное стабилизирующее подпространство пространства Марцинкевича и его свойства.
  7. Альтернативные формулы вычисления ССФ (формулы типа Лидского, формулы, связанная с «асимптотикой полугруппы распространения тепла» и с «асимптотикой дзета-функции элемента пространства»).
  8. Некоторые нерешенные вопросы.
  
• 22.03.10 А.Б.Александров Реферат статьи К.Дьяконова и Д.Хавинсона "Smooth functions in star-invariant subspaces".
  Статья состоит из 2 частей. 1. Пусть I - сингулярная внутренняя функция, соответствующая сингулярной мере μ. Хорошо известно, что модельное пространство K_I не содержит ненулевых гладких функций в том и только в том случае, когда мера μ исчезает на любом множестве Бёрлинга-Карлесона. Оказывается, что этот результат остаётся в силе, если гладкость понимать в весьма широком смысле.
  2. Пусть ω - модуль непрерывности, B - произвольная внутренняя функция, φ - неотрицательная непрерывная функция на единичной окружности. В работе описаны все тройки (ω,B,φ), обладающие следующим свойством. Модуль непрерывности любой функции f класса K_B, удовлетворяющей условию |f|=φ, оценивается сверху функцией Cω. В докладе больше внимания будет уделено первой части статьи. В частности, предполагается изложить используемый там классический результат Коренблюма-Робертса о характеристике циклических внутренних функций в классах Бергмана.
• 22.03.10 Е.С.Дубцов Дробные преобразования Коши, мультипликаторы и операторы Чезаро.
  Пусть B(n) обозначает единичный шар в n-мерном комплексном пространстве. Для a>0 обозначим символом K(a, n) класс всех функций f(z), представимых при z из B(n) в виде интеграла от ядра Коши в степени a по некоторой комплексной мере, заданной на границе шара B(n). Получены явные свойства поточечных мультипликаторов для пространств K(a, n). Также показано, что классический оператор Чезаро ограничен на пространствах K(a, 1).
• 15.03.10 Р.В.Бессонов Усеченные операторы Теплица и факторизации псевдопродолжимых функций.
  Понятие усеченного оператора Теплица (УОТ) является естественным аналогом хорошо известного определения оператора Теплица применительно к модельным пространствам. Важным вопросом об усеченных операторах Теплица является вопрос возможности выбора ограниченного символа у ограниченного УОТ. В двух докладах, прошедших в ноябре прошлого года, А.Д.Баранов построил примеры ограниченных УОТ, у которых нельзя выбрать ограниченный символ. Также была разобрана теорема о том, что в случае модельного пространства, отвечающего сингулярной функции с единственной точечной нагрузкой, каждый ограниченный УОТ, действующий в этом пространстве, имеет ограниченный символ. Недавно докладчиком был получен критерий возможности выбора ограниченного символа у каждого УОТ в терминах факторизаций псевдопродолжимых функций. Используя этот критерий, А.Д.Баранов доказал, что в модельных пространствах, отвечающих однокомпонентным функциям, каждый ограниченный УОТ обладает ограниченным символом. Также в докладе будут построены новые примеры ограниченных УОТ без ограниченного символа. Докладчиком будут приведены все сведения, необходимые для понимания доклада.
• 01.03.10 П.Иванишвили, С.В.Кисляков Еще раз об исправлении до функций с редким спектром и равномерно сходящимся рядом Фурье.
  В начале 80-х годов второй автор доказал аналог теоремы Меньшова об исправлении для произвольной конечномерной компактной абелевой группы; при этом у сиправленной функции ряд Фурье мог сходиться равномерно в практически любом предписанном заранее разумном смысле, а ее спектр мог быть погружен в предписанное заранее редкое множество. Важной составной частью доказательства был один технический прием из теории аппроксимации в пространствах L^p с p < 1. С тех пор эта теория сильно усовершенствовалась, что позволяет погружать спектр исправленной функции в более причудливые редкие множества, чем было возможно 30 лет назад. Кроме того, оказалось возможным еще несколько усилить смысл равномерной сходимости ряда Фурье исправленной функции. Об этом и будет рассказано в докладе. Предварительных знаний, в том числе и знакомства с упомянутым результатом 30-летней давности, не требуется.
• 22.02.10 М.Я.Мазалов (Смоленск) О задаче равномерного приближения гармоническими функциями
  В случае аналитических функций А.Г. Витушкиным в 60-годы было получено (в терминах аналитической емкости) необходимое и достаточное условие равномерной приближаемости функции, непрерывной на компакте в C и аналитической внутри компакта, функциями, аналитическими в его окрестностях. Будет обсуждаться соответствующая проблема для гармонических функций в R³, которая оказалась значительно сложнее (например, Lecture Notes in Mathematics, V.1574, 1994, eds. V.P.Havin and N.K. Nikolski, Problem 12.15) Результат, аналогичный условию А. Г. Витушкина, получен в предположении, что гармоническая емкость дополнения к компакту обладает некоторой однородностью. Именно, пусть X - компакт, X^o - множество всех внутренних точек X, x ∈ R³ - X^o, B - шар с центром x. Тогда ∩ (2B - X) ≤ A ∩ (B - X) с некоторой постоянной A=A(X)>0. В доказательстве существенно используется L₂ - ограниченность преобразований Рисса на липшицевой поверхности, причем нужная поверхность предварительно конструируется.
• 21.12.09 Ю.С.Белов Ограниченность и обратимость дискретного преобразования Гильберта с редкими полюсами (по совместной работе Т.Менгсте,К.Сейпа и докладчика).
  Для каких $v_n$ i $\mu$: дискретное преобразование Гильберта $H((a_n)) = \sum_n a_n*v_n/(z-t_n)$ - ограниченный оператор из $l2(v_n)$ в $L2(d\mu,C)$ ? Особый интерес представляет случай когда $\mu$ - дискретная мера. Для быстро растущих $|t_n|$ мы дадим необходимые и достаточные условия ограниченности похожие на классическое условие Макенхаупта. Дискретное преобразование Гильберта естественным образом возникает при изучении пространств целых функций где существует базис Рисса из воспроизводящих ядер (пространства Пэли-Винера, пространства де Бранжа, пространства Фоковского типа и т.д). В частности наши результаты позволяют описать все Карлесоновы меры (и ,в частности, последовательности Бесселя) и все базисы Рисса в некоторых "малых" пространствах целых функций. В качестве приложений мы проверим гипотезу Фейхтингера для этих пространств (и воспроизводящих ядер)и дадим контрпример к гипотезе Баранова (о конечности элементов последовательности Бесселя между двумя соседними полюсами).
• 07.12.09 Д.С.Челкак Одномерные мультипликативные каскады и формула KPZ.
  Основная цель доклада - популяризовать работу Benjamini-Schramm'а http://arxiv.org/abs/0806.1347 об одной конструкции случайной меры на отрезке и возникающей точной формуле пересчета хаусдорфовых размерностей случайных подмножеств этого отрезка (формула Книжника-Полякова-Замолодчикова).
• 30.11.09. Е.С.Дубцов Факторизация ограниченных функций на окружности.
  (Реферат статьи Ж.Бургейна). Этот доклад перенесен с 16.11.09.
• 23.11.09 А.Д.Баранов Усеченный Операторы Теплица II
  В докладе будет подробно изложено доказательство существования ограниченных символов у усеченных операторов Теплица в в двух модельных ситуациях - для пространства Пэли-Винера и для случая конечных матриц. Также будет обсуждаться связь с ограниченностью на воспроизводящих ядрах.
• 16.11.09 В.В.Пеллер Липшицевы функции возмущённых операторов
  Доклад будет посвящён совместным результатам с Ф.Л. Назаровым. Будут получены оценки слабого типа для липшицевых функций от возмущённых операторов.
• 09.11.09 В.И.Васюнин Функция Беллмана для максимального оператора.
  В докладе предполагается иллюстрация метода получения оценок с помощью так называемой функции Беллмана. В качестве объекта иллюстрации в этот раз выбраны оценки максимального оператора. Не предполагается предварительных знаний ни о том, что такое функция Беллмана, ни о том, что такое максимальный оператор - все определения будут разобраны во время доклада. Акцент будет сделан на элементарности метода, позволяющего получать весьма нетривиальные оценки.
• 02.11.09 А.Д.Баранов Усеченные операторы Теплица
  Усеченным оператором Теплица называют сужение классического оператора Теплица на некоторое модельное подпространство $K_\Theta$ с последующим проектированием, то есть для функции $\phi$ на окружности усеченный оператор Теплица (УОТ) определяют формулой $A_\phi f = P_\Theta (\phi f)$ на множестве тех функций $f$ из $K_\Theta$, для которых $\phi f$ принадлежит $L2$. В отличие от обычных операторов Теплица, символ УОТ неединственен, и УОТ может быть в некоторых случаях продолжен до ограниченного оператора и для неограниченного символа. Систематическое изучение УОТ было начато недавно в статьях Д. Сарасона, однако целый ряд естественных вопросов остаются открытыми. Так, до недавнего времени не было известно, обладает ли каждый ограниченный УОТ ограниченным символом. В докладе будет показано, что в общем случае это не так, однако для некоторых внутренних функций ответ положителен.
• 26.10.09 Д.С.Челкак Применение теоремы о неподвижной точке к обратной спектральной задаче.
  Учебный доклад, полностью доступный для понимания студентов. Будет рассказано простое доказательство теоремы о характеризации спектральных данных оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с потенциалами из пространств $L^p$ (для всех $1\le p<+\infty$). Локальная сюръективность нелинейного отображения, сопоставляющего спектральные данные потенциалу, будет получена при помощи элементарного применения теоремы о неподвижной точке.
• 19.10.09 О.Макаревич. Об одном диффеоморфизме,производимом гармоническим векторным полем.
  Будет построено диффеоморфное отображение v верхнего полупространства {x_3>0} пространства R3 на то же полупространство, разрезанное вдоль отрезка с концами (0,0,0) и (0,0,1), причем rot v=0, div v=0, так что v есть пространственный аналог аналитической функции sqrt(z2-a2),a>0, конформно отображающей верхнюю полуплоскость на ту же полуплоскость с разрезом [0,ai]. Гармонические (т.е. безвихревые соленоидальные) поля суть естественные аналоги аналитических функций на плоскости,но аналога теоремы Римана об отображениях односвязных областей для них нет, и построение гармонического диффеоморфизма для конкретной пары трехмерных областей всегда есть штучная работа.
• 12.10.09. Е.В.Малинникова (Трондхейм).
  Частотно-временная локализация для ортонормальных последовательностей и базисов.
  Time frequency localization for orthonormal sequences and bases.
  We will discuss uncertainty principles for orthonormal sequences of functions in L^2(R^n). In particular we show that there does not exist a basis with bounded time and frequency means and bounded product of dispersions for L^2(R) though it is not difficult to construct an infinite orthogonal sequence with this property. The statement does not hold for n>1 and we describe the dependence of the time frequency localization on the dimension of the space.
• 5.10.09 Н.А.Широков Заседание посвящено памяти Е.М.Дынькина (1949-1999).
  О работах Е.М.Дынькина по теории приближений.
• 28.09.09 Н.Н.Осипов Неравенство Литлвуда--Пэли для произвольных параллелепипедов в $R^n$ при $0 < p \le 2$.
  В 1983 году Рубио де Франсиа доказал, что при $2 \le p < \infty$ одностороннее неравенство Литлвуда--Пэли выполняется для произвольного набора непересекающихся интервалов. Не так давно (2005 г.) С. В. Кисляков и Д. В. Парилов установили, что двойственное неравенство выполняется для всех $0 < p \le 2$ (а не только для $1 < p \le 2$). В то же время известно, что результат Рубио де Франсиа можно распространить на $R^n$ (то есть вместо непересекающихся интервалов рассмотреть непересекающиеся параллелепипеды со сторонами, параллельными осям координат). Впервые это показал Журне, причем его результат не является тривиальным следствием результата Рубио де Франсиа. Для доказательства Журне использовал специальную лемму о покрытиях, пространства $BMO$ на прямых произведениях полуплоскостей $R2_+$ и теорию операторов Кальдерона--Зигмунда на прямых произведениях евклидовых пространств. Мы распространим результат Кислякова и Парилова на $R^n$, совместив технику, которую они использовали при доказательстве, с техникой, "двойственной" рассуждениям Журне.
• 21.09.09 A.Б.Александров Несколько замечаний об операторных модулях непрерывности (по совместной работе с В.В.Пеллером) Пусть f=f(t) -- непрерывная функция вещественной переменной t. Тогда она определяет функцию f=f(A) самосопряжённого оператора A. Мы определяем опрераторный модуль непрерывности \Omega_f как модуль непрерывности функции f(A). Другими словами, \Omega_f -- это наименьшая фунция, удовлетворяющая условию \|f(B)-f(A)\|\le\Omega_f(\|B-A\|) для любых самосопряжённых операторов A и B. Мы вводим также коммутаторный модуль непрерывности com\Omega_f и квазикоммутаторный модуль непрерывности qcom\Omega_f. Это наименьшие функции, удовлетворяющие условиям \|f(A)T-Tf(A)\|\le com\Omega_f(\|AT-TA\|) и \|f(B)T-Tf(A)\|\le qcomOmega_f(\|BT-TA\|) для любого ограниченного оператора T единичной нормы. Предполагается доказать, что квазикоммутаторный модуль непрерывности совпадает с коммутаторным модулем непрерывности. Будет построен пример, показывающий, что операторный модуль непрерывности не обязан совпадать с коммутаторными, хотя он и оценивается через них сверху и снизу после умножения на соответствующие константы. Важную роль для построения примера будет играть операторная версия неравенства Бернштейна с константой 1. Это неравенство позволяет строить и другие примеры. В частности, можно доказать существование нелинейной функции f, для которой скалярный модуль непрерывности совпадает с операторным модулем непрерывности.